1938 senesinde Nahçıvan'ın Keleki kasabasında doğmuş olan ve asıl ismi Ebulfez Kadir Güloğlu Aliyev olan Elçibey, Azerbaycan Bakü Devlet Üniversitesi Arap Dili ve Edebiyatı bölümü mezunudur. 1970 senelerinde, eski SSCB topraklarına dahil olmuş olan Azerbaycan'ın bağımsızlığı için mücadele etmeye başladı. 1976’da Sovyetler'e karşı propaganda yaptığı gerekçesi ile tutuklandı. 1978'de şartlı olarak serbest kaldı.
1988 - 1989 senelerinde Azerbaycan halkına bağımsızlık mücadelesi yolunda öncülük edip, halkın desteğine mazhar oldu. Aktif siyasi hayatına 1989’da, Azerbaycan Halk Cephesi Partisi'nin (AHCP) başına geçmesi ile başladı.
Azerbaycan, SSCB'nin 1990'da dağılmasından sonra 18 Ekim 1991’de bağımsızlığını resmi bir şekilde ilan etti. Ayaz Muttalibov'un kısa zaman devam eden cumhurbaşkanlığından sonra, Ebulfez Elçibey 7 Haziran 1992'de bağımsız Azerbaycan Cumhuriyeti'nin 2. cumhurbaşkanı oldu.
Daha evvel "Milli Kahramanlık Ödülü"nü vermiş olduğu Suret Hüseyinov'un Haziran 1993'de ayaklanmasının ardından cumhurbaşkanlığı görevini bırakarak doğum yeri olan Keleki'ye gitti. 31 Ekim 1997 senesinde Keleki'den Bakü'ye döndü ve AHCP'nin başında aktif siyasi hayatını sürdürdü. Elçibey, 1998’de yapılmış olan cumhurbaşkanlığı seçimlerine, "demokratik ve adil olmadığı" gerekçesi ile boykot edip katılmadı.
Yaşam boyu, Türk dünyasının birleşmesi ve kardeşliği için mücadele eden Elçibey, bu uğurda "Bütün Azerbaycan Yolunda" adında bir kitap bastırdı. 2 çocuk babası olan Ebulfez Elçibey, 22 Ağustos 2000 tarihinde 62 yaşında yaşamını yitirdi.
Veciz sözleri ile de tanınan Elçibey’e ait bazı ifadeler şunlardır:
* Sen Türk olduğunu unutsan da düşmanın asla unutmaz.
* Çok işkence gördüm, çok çektirdiler hiç birisine yanmam da, bir Atatürk rozetim vardı yakamda onu aldılar. Hala ona içim yanar.
* Bize hiç kimse özgürlük vermedi. Biz özgürlüğü şehitlerin kanı ile aldık